本当に、だめなの？

少なくとも、（信用失墜行為の禁止）については、あまり変な仕事（公務員として恥ずかしい仕事）でなければよさそうですよね。
（職務に専念する義務）についても、勤務時間外に仕事をして、勤務に支障をきたさなければよさそうですよね。
ほとんどの副業は（営利企業等の従事制限）に引っかかるようです。
こちらを参考にしてください。

具体的にいうと、任命権者の許可を受けなければ、営利目的の会社等の社長や役員をやってはいけないし、どんな仕事でも報酬をもらえる事務をやってはいけないということですよね。

逆に言うと、任命権者の許可を受けることができれば、大概のことができることになります。そう簡単には許可は出ませんけどね。